キハダの雑記

何気ない日常を記録していきます。

対数微分法を分かりやすく理解しようとする記事(説明編)

皆さんこんにちは、キハダです。

突然ですが、皆さんは「対数微分法をきちんと扱えるか」と問われたら、「ちゃんと扱うことができる」と答えることができるでしょうか。

僕はできません。(なぜなら対数という存在自体憎いと思っているので)(失礼)

ということで、個人的に簡単なまとめを作りたいと思った次第ですので、以下につらつらと書き連ねていきます。

先に宣言しておきますが、完全に自分の勉強用に書いているので、役に立たなくても僕は責任を負えません。ごめんなさいね。

 

以下、\LaTeXの記法を用いて数式の記述を行っています。もしかしたら環境によってはフォントがぼけて見える現象が発生する可能性があります。予めご了承ください。

パソコンから見ると、おそらくフォントがぼけることはないと思われます。

 


まず対数微分法って何なのよ

ふつう、微分は「変数の累乗数を前に取り出して、変数の累乗数の次数を下げる」という工程を行うことがほとんどです。

(例えば、\displaystyle f(x) = x^2微分すると f'(x) = 2xになったり、 g(x) = \sqrt{x}微分すると\displaystyle g'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}になったりしますよね。)

ところが、「変数の変数乗」と  いうモノには、普段使う微分の工程を用いることができません。

(例として、\displaystyle y = x^xという関数を挙げます。これを無理やり微分の公式に当てはめようとしても\displaystyle y' = x \times x^{x-1}となってしまいます。これでは何が何だかって感じですよね。)

 

このような 愚かな 関数を 撃砕 微分するために、「対数微分」を用います。

 

例として、ここでは\displaystyle y = x^x(ただし、x \gt 0)という関数を対数微分法を用いて微分していこうと思います。

以下に手順を追いながらその工程を書き記していきます。

 


対数微分法のやり方

まず、両辺の自然対数を取ります。

\displaystyle \ln y = x \ln x

(ここでいう\lnは、\log _eと同じものを指します。以下も同様です。)

 

次に、両辺をxについて微分します。

\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln y) = (x)' \ln x + x(\ln x)'

ここで、左辺に合成関数の微分法を適応させると、

\displaystyle \frac{d}{dy}(\ln y)\frac{dy}{dx} = (x)' \ln x + x(\ln x)'

 

左辺を詳しく見ていくと、\displaystyle \frac{d}{dy}(\ln y) \ln y微分となるので\displaystyle \frac{1}{y}と変形できます。

また、\displaystyle \frac{dy}{dx}では \ln yの中身の y微分を行うので、 y'と変形できます。

右辺も微分の公式に則って変形させると、 (x)' \ln x \ln xに、 x(\ln x)' 1となります。

 

ここまでで行った変形を式に適応させると、

\displaystyle \frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1

 

左辺の\displaystyle \frac{1}{y}を右辺に移項し、

\displaystyle y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)  //(証明終了)

 

上のように、両辺の自然対数を取り、微分を行っていくものを「対数微分法」といいます。面白いですね。

 


おわりに

かなり拙い文章でしたが、軽く作業工程をまとめてみました。

もし、誰かの理解のお助けになれば幸いです。

 

それでは。

 

 

(追記)以下に例題を何個かまとめてみました。こちらも参考にどうぞ。

対数微分法を分かりやすく理解しようとする記事(例題編) - キハダの雑記