キハダの雑記

何気ない日常を記録していきます。

逆三角関数の微分と積分を分かりやすく理解しようとする記事

皆さんこんにちは、キハダです。

ふと思ったことなんですが、いい歳にもなって三角関数微分積分ができないとちょっとヤバいなぁと思ったので、個人的にまとめ感覚でこの記事を書いていこうと思います。



三角関数微分導関数

以下に逆三角関数導関数を記す。

\displaystyle (\sin^{-1} x )' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

\displaystyle (\cos^{-1} x )' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

\displaystyle (\tan^{-1} x )' = \frac{1}{1 + x^2}

 

 

\displaystyle y = \sin^{-1} xの導出過程を以下に記す。

 y = \sin^{-1} xを変形すると \sin y = xとなるので、この式の両辺をxについて微分すると、

\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin y) = 1

この式の左辺を合成関数の微分法によって計算すると、

\displaystyle \frac{d}{dy}(\sin y)\frac{dy}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}

 

ここで、合成関数の微分法を上式を用いて確認すると、

\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dy}(\sin y)\frac{dy}{dx} 

この際に、\displaystyle \frac{d}{dy}(\sin y)の部分が\displaystyle \sin y微分となるので、

\displaystyle \frac{d}{dy}(\sin y)\frac{dy}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}と変形することができる。

 

したがって、\displaystyle \cos y \neq 0のとき、

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}  (1)

と変形することができる。

 

\displaystyle y = \sin^{-1} xの値域は\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}である。したがって、(1)において\displaystyle \cos y > \displaystyle 0となるので、

\displaystyle \cos y = \sqrt{1 - \sin ^{2} y} = \sqrt{1 - x^2}

これを(1)に代入し、

\displaystyle \frac{dy}{dx} = (\sin ^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(ただし、\displaystyle x \neq \pm 1)  //

 

また、 y = \cos^{-1} xの導出に関しては、\displaystyle \cos x微分\displaystyle -\sin xになることから、符号が逆転することが容易に予想がつく。

よって、 y = \cos^{-1} x導関数は、

\displaystyle \frac{dy}{dx} = (\cos ^{-1}x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(ただし、\displaystyle x \neq \pm 1)  //

 

 y = \tan^{-1} xの導出過程を以下に示す。

 y = \sin^{-1} xと同様に、 y = \tan^{-1} x \tan y = xと変形することができるので、両辺をx微分して、

\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan y) = 1

合成関数の微分法により、

左辺 = \displaystyle \frac{d}{dy}(\tan y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos ^{2}y} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos ^{2}y + \sin ^{2}y}{\cos ^{2}y}\frac{dy}{dx} = (1 + \tan ^{2}y)\frac{dy}{dx} = (1 + x^2)\frac{dy}{dx}

したがって、\displaystyle \frac{dy}{dx} = (\tan ^{-1}x)' = \frac{1}{1 + x^2}  //

 


三角関数に関する積分

以下に頻出するであろう逆三角関数に関する積分の公式を記す。

\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin ^{-1}\frac{x}{a} + C (a > 0)

\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a} + C (a ≠ 0)

 

これらは、逆三角関数微分を用いることで証明が可能である。

証明の手順としては、各等式の右辺の関数を微分することで左辺の積分される関数と一致することを示せばよい。

 

まず、\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}の導出過程を示す。

右辺の\displaystyle \sin ^{-1}\frac{x}{a}微分すると、

\displaystyle (\sin ^{-1}\frac{x}{a})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}

よって、右辺=左辺となり、導出完了となる。

 

次に、\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + a^2}の導出過程を示す。

右辺の\displaystyle \frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}微分すると、

\displaystyle (\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a})' = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\frac{a^2 + x^2}{a^2}} \cdot \frac{1}{a}

\displaystyle = \frac{1}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2 + x^2} = \frac{1}{x^2 + a^2}

よって、右辺=左辺となり、導出完了となる。

 


おわりに

今回は、逆三角関数に関する範囲の微分積分について軽く触れていきました。

この分野は暗記丸覚えになる人も多いと思いますが、公式から証明ができると検算にも応用が利くので、是非とも公式と証明両方覚えてみてください。

 

それでは。