逆三角関数の微分と積分を分かりやすく理解しようとする記事
皆さんこんにちは、キハダです。
ふと思ったことなんですが、いい歳にもなって逆三角関数の微分と積分ができないとちょっとヤバいなぁと思ったので、個人的にまとめ感覚でこの記事を書いていこうと思います。
逆三角関数の微分(導関数)
の導出過程を以下に記す。
を変形するととなるので、この式の両辺をについて微分すると、
この式の左辺を合成関数の微分法によって計算すると、
ここで、合成関数の微分法を上式を用いて確認すると、
この際に、の部分がの微分となるので、
と変形することができる。
したがって、のとき、
(1)
と変形することができる。
の値域はである。したがって、(1)において > となるので、
これを(1)に代入し、
(ただし、) //
また、の導出に関しては、の微分がになることから、符号が逆転することが容易に予想がつく。
よって、の導関数は、
(ただし、) //
の導出過程を以下に示す。
と同様に、はと変形することができるので、両辺をで微分して、
合成関数の微分法により、
左辺 =
したがって、 //
逆三角関数に関する積分
(a > 0)
(a ≠ 0)
証明の手順としては、各等式の右辺の関数を微分することで左辺の積分される関数と一致することを示せばよい。
まず、の導出過程を示す。
右辺のを微分すると、
よって、右辺=左辺となり、導出完了となる。
次に、の導出過程を示す。
右辺のを微分すると、
よって、右辺=左辺となり、導出完了となる。
おわりに
今回は、逆三角関数に関する範囲の微分や積分について軽く触れていきました。
この分野は暗記丸覚えになる人も多いと思いますが、公式から証明ができると検算にも応用が利くので、是非とも公式と証明両方覚えてみてください。
それでは。